Soit \(E\) un espace de Banach. Soit \(D\) une partie dense de \(E\) et \((f_n)_n\) une suite dans \(E^\prime\).
Montrer que \((f_n)\) converge vers \(f\) pour la topologie faible-étoile si et seulement si \((f_n)\) est bornée et $$\forall x\in D,\quad\langle{f_n,x}\rangle {\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\langle{f,x}\rangle .$$
(sens \(\implies\))

La définition de convergence se propage à \(D\) sans malice.

De plus la suite est bornée d'après le Théorème de Banach-Steinhauss.

Soit \(E\) un espace de Banach. Soit \(D\) une partie dense de \(E\) et \((f_n)_n\) une suite dans \(E^\prime\).
Montrer que \((f_n)\) converge vers \(f\) pour la topologie faible-étoile si et seulement si \((f_n)\) est bornée et $$\forall x\in D,\quad\langle{f_n,x}\rangle {\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\langle{f,x}\rangle .$$
(sens \(\impliedby\))

On prend un point et un seuil \(\to\) par densité de \(D\), il y a un point de \(D\) assez proche pour chaque point de \(E\).

On peut donc montrer que \(\lvert\langle{f-f_n,y}\rangle \rvert\) est arbitrairement petit pour tout \(y\in E\), ce qui montre la convergence.

Soit \(E\) un espace de Banach. Soit \(D\) une partie dense de \(E\) et \((f_n)_n\) une suite dans \(E^\prime\).
On sait que \((f_n)\) converge vers \(f\) pour la topologie faible-étoile si et seulement si \((f_n)\) est bornée et $$\forall x\in D,\quad\langle{f_n,x}\rangle {\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\langle{f,x}\rangle .$$Soit \(H\) un Espace de Hilbert
séparable et \((e_p)_p\) une Base hilbertienne de \(H\).
Montrons que \(x_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} x\) faiblement dans \(H\) si et seulement si \((x_n)_n\) est bornée et $$\forall p\in{\Bbb N},\quad\langle{x_n,e_p}\rangle {\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\langle{x,e_p}\rangle .$$

On utilise le Théorème de représentation de Riesz pour identifier \(x_n\) à une forme linéaire et réutiliser les résultats de la question précédente.

Il suffit donc de montrer que la convergence a lieu pour les éléments de combinaisons qui sont des combinaisons linéaires finies d'éléments de la base, ce qui se fait en développant l'élément dans la base.

Soit \(H\) un Espace de Hilbert
séparable et \((e_p)_p\) une Base hilbertienne de \(H\).
Quelle est la limite faible de \((e_n)_n\) ?

La suite est bien bornée.

Il suffit donc de vérifier le produit scalaire avec les éléments de la base, qui tend vers \(0\) \(\to\) la limite est \(0\).

On sait que \(x_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} x\) faiblement dans \(H\) si et seulement si \((x_n)_n\) est bornée et $$\forall p\in{\Bbb N},\quad\langle{x_n,e_p}\rangle {\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\langle{x,e_p}\rangle .$$
Donner un contre-exemple avec \((x_n)_n\) non bornée.

On prend \(x_n=ne_n\).